Алгебра за компютърни специалисти - част 1

Линейни системи, векторни пространства, матрици и детерминанти.

Учебникът на Евгения Великова-Бандова започва с въвеждането на важните понятия комплексно число и поле. В основната му част е изложена теорията за крайномерните векторни пространства и връзката им с линейните системи уравнения. Разгледани са също и действия с матрици и е въведено понятието детерминанта. Освен изложение на теорията, в учебника са дадени множество примери за нейното прилагане.

В последно време алгебрата се превърна в универсален език за изразяване на разнообразни зависимости във всички науки. Все по-активно е нейното използване във връзка със засиленото събиране, обработка и използване на данни в числов вид. Думите размерност, базис, линейна независимост и ранг се срещат както в строго научните, така и в по-популярните публикации. Тези термини се използват вече не само в алгебрата и в математиката, но и в много други области на знанието като информатиката, физиката, химията, инженерните науки и икономиката, статистиката и науката за данните (data science). През последните години, при изучаването на математиката много често се обръща повече внимание на това да се получи конкретен отговор, а не да се отговори на следните въпроси: каква е същността на търсения отговор, каква е спецификата на процеса на неговото получаване, защо можем да прилагаме конкретното разсъждение върху зададените в условието данни и съответно сигурно ли е, че действията които извършваме върху входните данни, наистина дават търсената, а не някаква друга стойност. Набляга се само на прилагане на алгоритъма или на избиране между известните алгоритми и схеми на най-оптималните за конкретните данни и може да се случи например, някой да умее да прилага алгоритъма за пресмятане на детерминанта, но да не знае какво изразява понятието детерминанта и при какви случаи тя се използва.

Но не трябва да се мисли за алгебрата само като за набор от алгоритми. Да, наистина една от целите на решаването на задачите по алгебра е получаване на някакви стойности или израз, което става чрез прилагане на съответни алгоритми. Но алгоритмичното мислене не се състои само в умения за прилагане на алгоритмите. Към него трябва да се присъединят също и начините за съставянето, доказването, проверката на адекватността, както и определянето за кои случи са приложими алгоритмите. Затова точното дефиниране на понятията и ясното разграничаване кога са приложими някои зависимости, както и осъзнаване кога е възможно еднотипни преобразувания да се прилагат към обекти от различни области, е от съществена важност за компютърните специалисти.

За да се избегне повърхностно изучаване на Алгебрата и за да бъде то от полза за компютърните специалисти, в предложения учебник подробно е разгледан теоретичният аспект на застъпения материал - строго са дефинирани понятията, обосновани са основните свойства на понятията, доказани са твърдения и теореми, описващи основните връзки в разглежданите теми. Най-общо казано, в учебника подробно е разгледана теорията, върху която се градят многобройните ѝ приложения. Показани са разнообразни примери за прилагане на получените зависимости, като разгледаните примери са над различни полета - има примери над рационалните, над реалните и над комплексните числа, но освен това има и примери над някои полета, които имат краен брой елементи. Когато се изучават твърденията заедно с техните доказателства, по-пълно се вниква в естеството на зависимостите, които се използват при решаване на алгоритмични задачи, създава се убеденост в това какъв е резултатът от прилагане на схемата в различните възможни случаи.

Университетско издателство Св. Климент Охридски
София, 1164
жк. Лозенец, ул. Златовръх 30
unipress@unipress.bg

Увод
Числови структури и полета

• Естествени, цели, рационални и реални числа
• Комплексни числа. Алгебричен вид
• Комплексни числа. Тригонометричен вид
• Поле. Дефиниция и основни свойства

Линейни системи и крайномерни векторни пространства

• Линейни системи
• Метод на Гаус
• Крайномерно векторно пространство
• Линейна зависимост и линейна независимост на вектори
• Ранг на съвкупност от вектори
• Ранг на матрица
• Линейно подпространство, базис и размерност
• Хомогенни системи и линейни подпространства
• Теорема на Руше и изразяване на множеството от решения на линейна система

Действия с матрици

• Събиране на матрици, умножение на скалар по матрица и транспониране на матрица
• Умножение на матрици
• Изразяване на произведението на матрици чрез линейни комбинации
• Обратима матрица
• Матрични уравнения от първа степен

Детерминанта

• Четност на пермутация
• Определение на детерминанта
• Основни свойства на детерминантата
• Развиване на детерминанта
• Детерминанта на произведение на матрици
• Минор на матрица и връзката му с ранг на матрица
• Фалшиво развитие на детерминанта
• Формули на Крамер и формула за обратна матрица

Други подходи за определяне на детерминанта*

• Детерминантата като полилинейна и антисиметрична функция
• Индуктивно въвеждане на детерминанта