Теория на мярката

Теория на мярката е една от фундаменталните математически дисциплини. Въпреки че нейните основи се крият в диференциалното и интегрално смятане, чиито корени от своя страна се простират назад до времето на древногръцките математици Архимед и Евдокс от Книд, тя е относително нов дял на математиката. Можем да сметнем, че започва да се оформя в средата на XIX в., а Борел, Пеано, Жордан и Лебег - математиците, които изиграват важна роля в началото на нейното развитие, работят към края на XIX и в началото на XX век.

Университетско издателство Св. Климент Охридски
София, 1164
жк. Лозенец, ул. Златовръх 30
unipress@unipress.bg

Предговор
Мярка на Лебег върху реалната права

• Външна мярка на Лебег
• Вътрешна мярка на Лебег
• Мярка на Лебег
• Неизмерими множества

Интеграл на Лебег от ограничена функция върху ограничен интервал

• Суми на Лебег
• Суми на Дарбу - Лебег
• Еквивалентност на двата подхода

Общо понятие за мярка

• Измерими пространства
• Мярка - дефиниция, характеристики и основни свойства
• Други основни понятия и техни свойства

Измерими функции

• Разширение на понятието Функция
• Измерими функции - дефиниция
• Измерими функции - основни свойства

Интеграл относно мярка

• Прости функции
• Интеграл от проста функция
• Интеграл от неотрицателна измерима функция
• Интегруеми функции и интеграл от интегруема функция

Граничен преход под знака на интеграла

• Теорема за монотонен граничен преход
• Лема на Фату
• Теорема за ограничен граничен преход
• Връзка между римановия и лебеговия интеграл

Метод на Каратеодори за конструкция на мярка

• Общо понятие за външна мярка
• Теорема на Каратеодори

Интеграл на Лебег-Стилтес

• Функции с ограничена вариация
• Интеграл на Лебег-Стилтес

Произведение на мерки

• Дефиниция на произведение на мерки
• Връзка между двоен и последователен интеграл
• Интеграл на Лебег върху Rn

Законопроменлива мярка

• Дефиниция и основни свойства
• Декомпозиция на измерими пространства
• Декомпозиция на законопроменливи мерки

Пространства на Лебег

• Пълни пространства
• Пространства на Лебег

Интегрална връзка между мерки

• Абсолютна непрекъснатост на мярка
• Теорема на Радон - Никодим
• Декомпозиция на Лебег

Представяне на ограничени линейни функционали

• Основни дефиниции
• Представяне на ограничените линейни функционали върху пространствата на Лебег

Диференцируемост почти навсякъде на монотонните функции

• Производни на Дини
• Диференцируемост почти навсякъде на монотонните функции

Основна теорема на диференциалното и интегрално смятане

• Абсолютно непрекъснати функции
• Основна теорема на диференциалното и интегрално смятане

Вероятностни пространства и случайни величини

• Някои основни понятия
• Измерими трансформации
• Някои основни формули

Решения, упътвания, отговори
Библиография
Азбучен указател