Лицата на Протей

Увод в концептуалната математика. Погледнете мъжа на корицата - ще видите, че той няма лице. На негово място е поставена геометрична конфигурация, разпадаща се всеки път, щом се опитаме да видим в нея устойчив образ. В това отношение той напомня за един от най-загадъчните персонажи от гръцката митология - Морския старец Протей, за който легендата разказва, че можел да приеме облика на всеки предмет, животно или растение... Ако опитаме да нарисуваме негов портрет, вероятно бихме получили същото: абстрактна структура, изпъкваща в поредица от форми, които поне на пръв поглед нямат нищо общо една с друга.

Книгата, която държите в ръцете си, също може да се разглежда като своеобразен портрет: нейна задача е да ви покаже математиката такава, каквато не сте я виждали никога досега. Тя разказва за една нова математическа дисциплина, която се ражда преди по-малко от седемдесет години в резултат от сътрудничеството между двама от най-изтъкнатите математици на нашето време - Сондърс Мак Лейн и Самуел Айленберг. Нейното име е теория на категориите и също като мъжа от картината, който няма свое лице, тя няма свой собствен предмет. Вместо да се интересува от определен тип обекти от рода на числата или геометричните фигури, тя изследва самите математически структури. По този начин теорията на категориите ни позволява да видим общото между отделните дялове на математиката, осигурява ни универсален език, в който могат да бъдат облечени резултатите на всяка известна формална теория.
С помощта на стотици строго формулирани дефиниции, подробно обосновани теореми и детайлни диаграми, настоящата книга ще позволи на читателя да усвои този език, който през последния четвърт век намира десетки приложения в различни научни области - от физиката и математиката през логиката и компютърната наука до философията и социалната теория.

Росен Люцканов е завършил философия в Софийски университет Свети Климент Охридски. Защитава дисертация по логика в Института за философски изследвания към Българската академия на науките. Понастоящем е главен асистент в секция Логически системи и модели. Участвал е в съвместни изследователски проекти с научни институции от Белгия, Полша, Словакия, Чехия и Унгария. Автор е на една монография (Теоремата за непълнота) и над четиридесет статии и студии. Водил е уводни курсове по логика в Нов български университет и в Пловдивски университет. Член е на управителния съвет на Българското общество по аналитична философия и на редколегията на Balkan Journal of Philosophy. Носител на награда на БАН Проф. Марин Дринов за млад учен за 2008 г.

Изток-Запад ТМ ЕООД
София, 1000
ул. Стара планина 5, ет. 2
iztok.zapadbg@gmail.com

Понятие за категория

• Философия без метафизични претенции
• Математика без математически обекти
• Логика без логически закони
• Кратка история на теорията на категориите
• Същност на теорията на категориите
• Дефиниция за категория
• Комутативни диаграми
• Свойства на съчетаването
• Свойства на тъждествените морфизми
• Мислене чрез категории

Типове морфизми

• Задачи за конструиране
• Свойства на ретракцията
• Мономорфизми и епиморфизми
• Неформално обсъждане
• Някои интересни свойства
• Етикетиране и групиране
• Обратими морфизми
• Изоморфизъм
• Автоморфизъм
• Инволюция
• Изоморфни обекти
• Канонично разлагане на морфизъм
• Неформално обсъждане
• Аксиома на избора
• Деление на ендоморфизъм
• Включване и еквивалентност
• Подобект
• Финитни и трансфинитни обекти

Декартово затворена категория

• Начален и краен обект
• Начален обект
• Краен обект
• Основни свойства
• Неформално обсъждане
• Определимост чрез краен обект
• Точка
• Променлива
• Елемент
• Константа
• Неподвижна точка
• Обект - произведение
• Определение
• Основни свойства
• Неформално обсъждане
• Връзка между произведение и краен обект
• Определимост чрез обекти - произведения
• Графика
• Операция и действие
• Морфизъм - произведение
• Диагонален морфизъм
• Параметризация
• Обект - сума
• Определение
• Основни свойства
• Неформално обсъждане
• Връзка между сума и начален обект
• Определимост чрез обект - сума
• Обект - изравнител
• Определение
• Основни свойства
• Примери за изравнител
• Съизравнител
• Разслоено произведени
• Определение
• Основни свойства
• Характеризиране на морфизми чрез разслоени произведения
• Връзка с крайните обекти, произведенията и изравнителите
• Лема за разслоените произведения
• Определимост чрез разслоени произведения
• Прообраз
• Разслояване
• Сечение
• Ядро
• Типове релации
• Рефлексивни релации
• Симетрични релации
• Транзитивни релации
• Релация на еквивалентност
• Ефективна релация
• Обект - степен
• Определение
• Основни свойства
• Точки на обект - степен
• Именуване
• Транспозиции
• Неизроденост
• Дистрибутивност
• Степенуване на морфизми

Елементарен топос

• Разделител и съразделител
• Определение
• Свойства
• Характеристичен морфизъм
• Инективност
• Логически стойности
• Двузначност
• Определимост чрез съразделител
• Истината като изравнител
• Отново за епиморфизмите
• Равенство
• Разлагане на обект и морфизъм
• Канонично разлагане на обект - сума
• Канонично уравнение на морфизъм
• Логически константи
• Отрицание
• Еквивалентност
• Конюнкция
• Импликация
• Дизюнкция
• Семантични таблици
• Част и цяло
• Допълнение
• Сечение
• Обединение
• Връзка между логика и алгебра
• Теорема на Дяконеску
• Топология и затваряне
• Определение
• Свойства
• Инективност на Ω_j
• Плътност и затвореност
• Връзка между топология и съразделител
• Примери
• Множество - степен и квантификация
• Множество - степен
• Универсален и екзистенциален квантор
• Синглетон и частичен морфизъм
• Синглетон
• Частичен морфизъм
• Числов обект
• Определение
• Основни свойства
• Примитивна рекурсия
• Аритметични операции
• Аксиоми на Пеано
• Аксиома за безкрайност
• Метаматематически теореми
• Теорема на Кантор
• Теорема на Гьодел

Висша теория на категориите

• Видове функтори
• Вариантност
• Пълнота и правдивост
• Изоморфност
• Хомоморфност
• Задаване на структури чрез функтори
• Ендофунктори
• Диаграми и граници
• Производни категории
• Дуална категория
• Подкатегория
• Категория - произведение
• Категория на ендоморфизмите
• Категория на частичните морфизми
• Категория - резен
• Интервална категория
• Морфизирана категория
• Естествени трансформации
• Определение
• Примери
• Естествен изоморфизъм
• Произведение на Годман
• Функторни категории
• Представими функтори и лема на Йонеда
• Размерност
• Представими функтори
• Лема на Йонеда
• Приложения
• Еквивалентни категории
• Псевдо-инверс и еквивалентност
• Еквивалентност и скелетни категории
• Прилежащи функтори
• Определение
• Отражение
• Единица и съеденица на прилежанието
• Примери за прилежание
• Закони за запазване
• Подобектен функтор
• Монади и алгебри
• Монади
• Алгебра
• Коалгебра
• Бисимулация
• Категория на категориите
• Определение
• Теория на категорията в категорията на категориите
• Бифунктори и функторни категории
• Дефиниции чрез универсално свойство
• 2- и 3-категории
• Вътрешни категории
• Ескизи и логика
• Ескизи
• Логики

Справка за източниците
Речник на термините
Използвани означения
Азбучен указател
Литература