Математика за икономисти - част 1

В предлаганата на вниманието на нашите читатели книга са разгледани някои раздели от математиката, които по мнението на авторите са необходими за изграждането на съвременните специалисти по икономика.

В много страни, в това число и у нас, се наблюдава изместване на приоритетите от техническите към хуманитарните и икономическите науки. Много наши университети и колежи разкриха специалности, в които се изучава икономика. Естествено възниква въпросът дали икономическата наука в бъдеще може да стане точна наука, която ще дава точни прогнози, безупречни доказателства. Очевидно отговорът на този въпрос е свързан с възможността за приложение на математиката в икономиката.

Независимо от широко разпространеното мнение, че в икономиката е достатъчно да се прилагат елементарни аритметични действия, а висшата математика е нужна само на естествените и техническите науки, един бегъл поглед върху съдържанието на международните списания по икономика и изследванията, за които се присъждат Нобелови награди по икономика, показва, че такава теза е несъстоятелна.

УНСС
София 1700
жк Студентски град Христо Ботев, ул. 8-ми декември 19
v.mitev@unwe.bg

Предговор
Числа и пространства

• Необходими и достатъчни условия. Обратни и противоположни теореми
• Правоъгълна декартова координатна система
• Елементарни задачи на аналитичната геометрия
• Полярни координати
• Цилиндрична координатна система
• Многомерно пространство
• Детерминанти от втори и трети ред

Векторна алгебра на крайномерните пространства

• Векторни и скаларни величини
• Линейни операции с вектори
• Сбор от вектори и умножение на вектор с число
• Умножение на вектор с число
• Координати и компоненти на вектор
• Линейни операции с вектори, зададени със своите координати
• Проекция на вектор върху ос
• Скаларно произведение на вектори
• Векторно произведение на вектори
• Смесено произведение на вектори
• Двойно векторно произведение
• Действие с вектори, зададени със своите координати
• Линейно пространство
• Съвкупност от вектори на линейно векторно n-мерно пространство

Аналитична геометрия

• Права в равнина
• Общо и нормално уравнение на права линия
• Уравнение на права линия в равнина, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на дадено направление
• Разстояние от точка до права в равнината
• Ъгъл между две прави линии
• Равнина в тримерното пространство
• Нормално уравнение на равнина
• Уравнение на равнина, минаваща през дадена тока и перпендикулярна на даден вектор
• Ъгъл между две равнини
• Условия за перпендикулярност и успоредност на две равнини
• Права линия в пространството
• Уравнение на права линия
• Уравнение на права, минаваща през две точки
• Общо уравнение на права линия. Преход към канонично уравнение на права линия
• Ъгъл между две прави в тримерното пространство
• Криви и повърхнини от втори ред
• Криви от втори ред
• Класификация на криви от втора степен
• Многочлени от втора степен
• Канонични уравнения на криви от втори ред
• Повърхнини от втори ред
• Цилиндрична повърхнина
• Канонична повърхнина
• Повърхнини на въртене
• Метод на успоредните сечения при изследване на повърхнините

Матрици и действие с тях

• Дефиниция на матрица. Действие с матрици
• Събиране на матрици
• Умножение на матрица с число
• Умножение на матрици
• Транспониране на матрица
• Елементарни преобразования на матрици
• Матрици на елементарните преобразования
• Детерминанти
• Обратна матрица
• Дефиниция на обратна матрица
• Метод на Жордан
• Ранг на матрица
• Базис. Линейно подпространство
• Системи линейни уравнения
• Основни понятия
• Метод на Гаус
• Правило на Крамер
• Хомогенни системи линейни уравнения
• Смяна на базиса

Евклидови пространства

• Дефиниция на евклидово пространство
• Ортогонално допълнение на линейно векторно подпространство в евклидовото пространство
• Преобразования (оператори)
• Линейни преобразования. Образ и ядро на линейното преобразование
• Действия с линейни преобразования
• Матрица на линейния оператор
• Собствени значения и собствени вектори
• Спрегнат оператор
• Симетричен оператор
• Квадратични форми

Числови множества и редици

• Множества
• Числова ос
• Точна горна и точна дона граница на числово множество
• Числова редица. Граница на числова редица
• Аритметични операции със сходящи числови редици. Безкрайно големи и безкрайно малки числови редици
• Монотонни редици. Подредици
• Числото е
• Комплексни числа и действия с тях

Диференциално смятане на функциите на една реална променлива

• Дефиниция на функция. Граница на функция
• Дефиниция на функция
• Операции с функции
• Елементарни функции и тяхната и тяхната класификация
• Ограничени функции
• Монотонни функции
• периодични функции. Обратна функция
• Граница на функция
• Безкрайно големи и безкрайно малки функции. Сравняване на безкрайно малки функции. Неопределености
• Непрекъснати функции
• Дефиниция на непрекъснатост на функция
• Точки на прекъсване на функция и тяхната класификация
• Свойства на непрекъснатите функции в затворен интервал
• Геометрична интерпретация на непрекъснатост на функция на една променлива в точка. Равномерна непрекъснатост
• Производна на функция
• Дефиниция на производна
• Геометричен смисъл на производната
• Лява и дясна производна
• Диференцируемост на функция. Диференциал на функция
• Геометричен смисъл на диференциала
• Икономически смисъл на производната
• Диференциране на сбор, произведение и частно на функции
• Диференциране на сложна функция
• Инвариантност на формата на диференциала
• Производна на обратната функция
• Производни на някои елементарни функции
• Логаритмична производна
• Производни от по-висок ред
• Производна на обратна тригонометрична функция
• Производна на хиперболични функции
• Диференциал от по-висок ред

Теореми за средните стойности на диференциалното смятане. Основни теореми за функции, диференцируеми в интервал. Приложения

• Теореми за средните стойности
• Разкриване на неопределености (Правило на Лопитал)
• Формула на Тейлор за функция на една променлива
• Разложение по формулата на Маклорен на някои елементарни функции

Изследване на функция на една променлива

• Монотонност на функция. Екстремални точки. Най-голяма и най-малка стойност на функция в затворен интервал
• Изпъкналост и вдлъбнатост на функция
• Асимптоти на графиката на функцията
• Схема за построяване на графиката на функцията
• Модел на Солоу
• Еластичност на функция

Функция на няколко променливи

• Отворени и затворени множества в R_n
• Функция на няколко променливи. Икономически примери
• Дефиниция на функция на няколко променливи
• Производствена функция
• Функция на разходите
• Функция на търсенето
• Граница на функция на няколко променливи
• Непрекъснатост на функция на няколко променливи
• Частни производни и еластичност на функция на няколко променливи
• Частни производни
• Еластичност на функция на много променливи
• Производни от по-висок ред
• Геометричен смисъл на частните производни на функция на две променливи
• Диференцируемост на функция на няколко променливи. Пълен (тотален) диференциал
• Дефиниция на пълен (тотален) диференциал
• Необходими условия за диференцируемост на функция на повече променливи. Достатъчно условие за диференцируемост на функция на повече променливи
• Частни производни и диференциал на сложна функция
• Производна по посока. Градиент
• Изпъкналост на функция на няколко променливи
• Дефиниция на понятието изпъкналост на функция на няколко променливи
• Непрекъснатост на изпъкнали функции
• Критерии за изпъкналост на функция
• Неявни функции
• Теорема за съществуване на неявна функция
• Икономически пример. Пределна норма на заместване на ресурсите. Еластичност на заместване на ресурсите, класът CES функции
• Екстремум на функция на няколко променливи
• Условен екстремум

Интегрално смятане

• Дефиниция на интеграла на Риман и теореми за съществуване
• Свойства на определения интеграл
• Геометричен смисъл на определения интеграл
• Интегралът като функция на горната граница
• Формула на Нютон-Лайбниц
• Неопределен интеграл
• Таблица на основните неопределени интеграли
• Методи за пресмятане на неопределени интеграли
• Метод на непосредственото интегриране
• Интегриране чрез внасяне под знака на диференциала и интегриране чрез смяна на променливата на интегрираме
• Метод за интегриране по части
• Интегрираме на функции, съдържащи квадратен тричлен в знаменател
• Основни методи за пресмятане на определени интеграли
• Смяна на променливата при определения интеграл
• Интегриране по части при определения интеграл

Литература