Увод в хомологичната алгебра

Еквивалентност на сингулярните кохомологии с кохомологиите на de Rham на многообразие.

Учебникът е предназначен за магистри от програмата Алгебра, геометрия и топология на Факултета по математика и информатика на Софийския университет Св. Климент Охридски, Алгебра, геометрия и теория на числата, бакалаври от професионално направление Математика, както и за всички, които се интересуват от глобални методи за изучаване на диференцируеми многообразия. Изложението предполага основни познания по алгебра (линейни пространства, групи, пръстени), както и диференциално и интегрално смятане (непрекъснати и диференцируеми функции на няколко променливи).

Предварителни сведения за модули

• Модули, бимодули
• Подмодули и фактор-модули
• Хомоморфизми на модули
• Пропускване на модулни структури и хомоморфизми. Ньотерови изоморфизми

Верижни комплекси, цикли, граници, хомологии. Морфизми на верижни комплекси

• Определения на верижни комплекси, цикли, граници, хомологии
• Морфизми на верижни комплекси и индуцирани хомоморфизми на хомологиите
• Верижни хомотопии и хомотопична еквивалентност на верижни комплекси

Верижни комплекси от линейни пространства. Верижни комплекси от хомоморфизми

• Произведение и ко-произведение на модули
• Верижни комплекси от линейни пространства
• Действия с хомоморфизми на модули

Универсални свойства на произведението и ко-произведението. Свободни модули

• Универсално свойство на ко-произведението
• Универсално свойство на произведението
• Торзонни и свободни модули
• Базис на свободен модул
• Универсално свойство на свободни модули
• Свободни резолвенти на модули

Сингулярни хомологии на топологичното пространство

• Симплекси. Афинна независимост
• Афинни изображения
• Сингулярни симплекси
• Сингулярен верижен комплекс
• Непрекъснати изображения и морфизми на сингулярните верижни комплекси
• Инвариантност на сингулярните хомологии относно хомологична еквивалентност

Гладки сингулярни хомологии на многообразие

• Гладки сингулярни хомологии
• Изоморфизъм на сингулярните хомологии с гладките сингулярни хомологии на многообразие

Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии

• Определения
• Съгласуваност с непрекъснати (гладки) изображения
• Инвариантност на сингулярните кохомологии относно хомотопична еквивалентност
• Изоморфизъм на сингулярните кохомологии с гладките сингулярни кохомологии на многообразие

Снопове

• Определение и пример
• Хомоморфизми на снопове. Подснопове
• Сечения на сноп
• Фактор-сноп

Предснопове и асоциираност между снопове и предснопове

• Определение за предсноп. Предсноп от сечения на сноп
• Сноп, асоцииран и предсноп
• Взаимна еднозначност между асоциирани снопове и предснопове

Съответствие между къси точни редици от ко-верижни (верижни) комплекси и дълги точни редици от кохомологии (хомологии). Змиеобразна лема

• Змиеобразна лема
• Точни редици от ко-верижни (верижни) комплекси кохомологии (хомологии)
• Съгласуваност с морфизмите на къси и дълги точни редици

Меки снопове и резолвенти

• Точни редици от снопове и техните редици от глобални сечения
• Разбиване на единицата върху паракомпактно многообразие
• Определение и свойства на меките снопове

Гладка сингулярна резолвента на постоянния сноп

• Сноповете на гладките сингулярни ковериги са меки
• Верижни контракции на локални сингулярни вериги
• Точност на ко-верижния комплекс на гладките сингулярни снопове

Кохомологии на de Rham. Лема на Poincare

• Допирателно разслоение
• Диференциални форми върху гладко многообразие. Кохомологии на de Rham
• Лема на Poincare

Кохомологии с коефициент в сноп. Теорема на de Rham

• Определение и основни свойства на кохомологиите с коефициенти в сноп
• Къси точни редици от снопове и дълги точни редици от кохомологии с коефициенти в тези снопове
• Пресмятане на кохомологии с коефициенти в сноп чрез ациклични резолвенти
• Теорема на de Rham

Хомотопична инвариантност на кохомологиите на de Rham. Точна редица на Mayer-Vietoris
Кохомологии на сфери
Кохомологии на компактни ориентируеми повърхнини
Библиография