Методика на обучението по математика. Обща методика

Книгата е едновременно учебник и ръководство за упражнения. Теоретичният материал е съпътстван от множество примери, като след всяка глава има богат набор от дидактически задачи. По този начин учебникът може да се използва както за лекции, така и за семинарни и лабораторни упражнения. Общият брой дидактически задачи и примери надхвърля 700.

Доц. Юлия Нинова е дългогодишен преподавател по методика на обучението по математика в Софийския университет Св. Климент Охридски. В настоящия учебник е синтезиран опитът ѝ като асистент и впоследствие като лектор по тази учебна дисциплина, основна за подготовката на учителите по математика. Доц. Филип Петров е неин студент, последовател и съмишленик във визията за развитието на научната област. Целта на авторския колектив е не само да се поддържа и продължи традицията на техните предшественици от катедра Обучение по математика и информатика, но и да се осъвремени и обогати учебното съдържание.

Университетско издателство Св. Климент Охридски
София, 1164
жк. Лозенец, ул. Златовръх 30
unipress@unipress.bg

Предговор
Множества. Операции и релации с множества

• Понятия, термини, означения и начини на задаване
• Релации и свойствата им
• Равенство на множества
• Подмножество
• Операции с множества и свойствата им
• Разбиване на множество на подмножества
• Множествата в училищния курс по математика (УКМ)

• Задачи за упражнение към глава 1
• Отговори, упътвания, решения

Съждения. Операции и релации със съждения

• Съждение. Видове съждения
• Операции в множеството на съжденията
• Релацията еквивалентност в множеството на съжденията и закони на логиката
• Релацията следва в множеството на съжденията и правила за извод

• Задачи за упражнение към глава 2
• Отговори, упътвания, решения

Предикати. Операции и релации с предикати

• Едноместен предикат
• Операции в множеството на предикатите
• Конюнкция
• Дизюнкция
• Импликация
• Равнозначност
• Отрицание
• Релации в множеството на предикатите
• Релацията еквивалентност
• Релацията следва
• Квантори за общност и съществуване

• Задачи за упражнение към глава 3
• Отговори, упътвания, решения

Предмет, цел, задачи, съдържание, основи и методи на методиката на обучение по математика (МОМ)

• Исторически сведения за развитието на МОМ
• Предмет на МОМ и използвана терминология
• Задачи на МОМ
• Съдържание на МОМ
• Основи на МОМ
• Методи на МОМ
• Отражение на резултати от изследвания по МОМ

• Задачи за упражнение към глава 4
• Отговори, упътвания, решения

Емпирични познавателни методи

• Общи бележки върху познавателните методи
• Емпирични познавателни методи
• Наблюдение и опит (експеримент)
• Сравнение
• Емпирично обобщение

• Задачи за упражнение към глава 5
• Отговори, упътвания, решения

Теоретични познавателни методи

• Конкретизация и абстрахиране
• Конкретизация
• Абстрахиране
• Обобщение и специализация
• Специализация
• Обобщение
• Анализ и синтез

• Задачи за упражнение към глава 6
• Отговори, упътвания, решения

Понятията в училищния курс по математика

• Същност на понятията
• Обем на понятието
• Съдържание на понятието
• Термин на понятието
• Определение на понятието
• Видове определения
• Условия (изисквания) за коректност на определенията
• Логическа структура на определенията
• Класификация на понятията. Системи понятия

• Задачи за упражнение към глава 7
• Отговори, упътвания, решения

Изучаване на математическите понятия

• Етапи на изучаване на математическите понятия
• Въвеждане на понятията
• Описателен начин
• Аксиоматичен начин
• Конкретно-индуктивен (генетичен) начин
• Дедуктивно-дедуктивен (догматичен) начин
• Мотивация на термини или на определения
• Пропедевтика на математическите понятия
• Усвояване на математическите понятия (съвкупност от дейности)
• Заучаване на определението на понятието
• Разкриване на логическата структура на определението на понятието
• Упознаване на типовете задачи, решими с определението на понятието със структура p ↔ q
• Разглеждане на частни случаи
• Посочване на примери от обема на понятието от учениците
• Поучаване на следствия от определението на понятието
• Решаване на типове задачи за разпознаване
• Упознаване на символи, думи и словосъчетания, свързани с термина на понятието, уговорки
• Работа с грешките на учениците
• Поддържането на знанията за понятията

• Задачи за упражнение към глава 8
• Отговори, упътвания, решения

Теоремите в училищния курс по математика

• Математически твърдения
• Аксиоми
• Теореми
• Начини на формулиране на теореми
• Структура на теоремите
• Теорема на Гаубер
• Връзка на теоремите с понятията
• Лема

• Задачи за упражнение към глава 9
• Отговори, упътвания, решения

Изучаване на математическите твърдения в УКМ

• Въвеждане на теореми
• Конкретно-индуктивен (генетичен) начин
• Абстрактно-дедуктивен (догматичен) начин
• Усвояване на теоремите (съвкупност от дейности)
• Заучаване на формулировката на твърдението
• Разграничаване на условието от заключението на теоремата
• Анализ на структурата на теоремата - на условието, на заключението и на самата теорема
• Типове задачи, решими с теорема
• Генериране на задачи за упражнение
• Извеждане на следствия от теорема
• Преформулиране на твърдение, формулиране на другите видове твърдения и обосновка на верността им
• Работа с грешките на учениците
• Усвояване на терминологията необходимо условие, достатъчно условие
• Препазване от разсъждения по логически неверни схеми
• Добавяне на теоремата към дидактическа система от признаци (ДСП) или към дидактическа система от свойства (ДСС) за съответно понятие
• Поддържане на знанията за теореми
• Аксиоматичен метод
• Задачи за упражнение към глава 10
• Отговори, упътвания, решения

Обобщаване на знанията за понятия и теореми

• Необходимост от обобщаване на знанията
• Систематизиране на теоремите на базата на отношението им към съответно понятие
• Дидактическа система от признаци (ДСП)
• Дидактическа система от свойства (ДСС)
• Влияние на обобщението върху евристичните възможности на учениците
• Задачи за упражнение към глава 11
• Отговори, упътвания, решения

Умозаключения. Видове умозаключения и тяхното място в УКМ

• Що е умозаключение
• Видове умозаключения
• Индуктивни умозаключения
• Пълна индукция
• Непълна индукция
• Умозаключения по аналогия
• Дедуктивни умозаключения
• Съпоставка между методите на познание и умозаключенията
• Задачи за упражнение към глава 12
• Отговори, упътвания, решения

Метод на математическата индукция

• Основания
• Съдържателни интерпретации на различни нива
• Дейности и средства на макроравнище
• Дейности и средства на мезоравнище
• Дейности и средства на микроравнище
• Метод на математическата индукция
• Дейности и средства на макроравнище
• Същност на метода на математическата индукция
• Дейности и средства на мезоравнище
• Причини за затрудненията на учениците
• Мотивиране на метода на математическата индукция
• Уточняване на средствата за мотивиране на необходимостта от проверката на базата на индукцията
• Уточняване на средствата за мотивиране необходимостта от проверката на индуктивната стъпка
• Уточняване на типовете задачи, които ще се решават за усвояване на метода
• Дейности и средства на микроравнище
• Исторически бележки
• Задачи за упражнение към глава 13
• Отговори, упътвания, решения

Доказателство. Видове математически доказателства, тяхното място и усвояване в УКМ

• Що е доказателство
• Кратки исторически бележки
• Видове доказателства
• Структура на пряко доказателство на твърдение от вида p → q
• Синтетично доказателство
• Аналитично доказателство
• Схема на Евклид
• Схема на Пап
• Структура и същност на косвеното доказателство
• Методика за обучение в доказване на математически твърдения
• Предварителна подготовка
• Мотивиране на необходимостта от доказване
• Усвояване на пряко доказателство
• Усвояване на косвено доказателство
• Начини за оформяне на доказателството
• Задачи за упражнение към глава 14
• Отговори, упътвания, решения

Математическите задачи

• Същност на математическите задачи
• Видове математически задачи
• Видове математически задачи според условието на задачата
• Видове математически задачи според изискванията
• Видове математически задачи според структурата на решението
• Видове математически задачи според принадлежността им към съответната предметна област
• Видове математически задачи според дидактическите цели
• Видове математически задачи според типа мислене
• Видове математически задачи според броя на решенията им
• Видове математически задачи според използваното средство
• Функции на задачите като дидактическо средство
• Структура на решението на математическите задачи
• Понятието сложност и трудност на решение на математическа задача
• Системи от задачи
• Съставяне на системи от задачи чрез използване на задачи компоненти
• Съставяне на системи от задачи чрез вариране в дадените или в търсените елементи
• Условия, осигуряващи успешно формиране на умения за решаване на задачи
• Задачи за упражнение към глава 15
• Отговори, упътвания, решения

Дидактически принципи и приложението им в обучението по математика

• Общи бележки
• Дидактически принципи
• Принцип за наглядност
• Принцип за съзнателност
• Принцип за активност
• Принцип за достъпност
• Принцип за системност и последователност
• Принцип за трайно усвояване на знанията
• Принцип за индивидуален подход
• Принцип за научност
• Взаимовръзка между дидактическите принципи
• Задачи за упражнение към глава 16
• Отговори, упътвания, решения

Междупредметни и вътрешнопредметни връзки при обучението по математика

• Аргументи
• Хронологична наредба на темите, определящи съдържанието
• Същност на системата на междупредметните връзки
• Примери
• Модел за интегрирано обучение
• Описание на опит за анализиране на междупредметни връзки между два учебни предмета
• Матричен подход за отразяване на междупредметни връзки
• Препоръки
• Задачи за упражнение към глава 17
• Отговори, упътвания, решения

Математическите софизми

• Софизми за определяне на допустими стойности и защо не може да се дели на нула
• Софизми за изучаване на мерни единици
• Софизми с геометрични задачи
• Софизми за коренуване
• Софизми с тригонометрични функции
• Софизмите като средство за мотивиране на необходимостта от проверка на базата и на индуктивната стъпка при използване на метода на математическата индукция
• Софизми за взаимовръзката между дискретни и непрекъснати безкрайни множества
• Задачи за упражнение към глава 18

Използвана литература